[260510] 모든 항이 자연수인 등차수열의 곱 (정답률 60%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 수열 $a_n$과 $b_n$의 모든 항이 자연수 & 공차가 같다 이용하기

 

두 수열 $a_n$과 $b_n$은 모든 항이 자연수이므로 첫 항 과 공차가 모두 자연수인 수열입니다. 

 

주어진 시그마에 n = 1, 2를 대입하여 두 개의 항을 구해줍니다.

 

$ \frac{1}{a_1b_1}=\frac{1}{12}$,      $a_1b_1=12$,

 

$ \frac{1}{a_1b_1}+ \frac{1}{a_2b_2}=\frac{1}{10}$, 

 

$\frac{1}{a_2b_2}=\frac{1}{60}$, $a_2b_2=60$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2 ) $a_1b_1$과 $a_2b_2$의 관계 추론하기

 

 

$a_1b_1=12$에서 $a_1$, $b_1$은 자연수이므로, 다음과 같은 순서 쌍을 만들어 낼 수 있습니다.

 

$a_1=1$, $b_1=12$, $a_1=2$, $b_1=6$, $a_1=3$, $b_1=4$,

 

$a_2b_2=60$에서 $a_2$, $b_2$는 자연수이므로, 다음과 같은 순서 쌍을 만들어 낼 수 있습니다.

 

$a_2=1$, $b_2=60$, $a_2=2$, $b_2=30$, $a_2=3$, $b_2=20$, $a_2=4$, $b_2=15$...

 

$a_n$과 $b_n$의 공차가 같음을 이용하면 다음과 같이 어렵지 않게 수열의 공차를 구해 줄 수 있게 됩니다.

 

$a_1=2$, $b_1=6$에서 두 수열의 공차가 4인 경우, $a_2=6$, $b_2=10$ 이므로 $a_1b_1=12$, $a_2b_2=60$이 성립함을 알 수 있음.

 

즉 수열 $a_n+b_n$을 새로운 수열인 $c_n$으로 가정하게 된다면, 새로운 수열인 $c_n$은 첫 항이 $a_1+b_1$인 8이며, 공차가 8인 등차수열임을 알 수 있습니다.

 

 

$$\sum_{k=1}^{5}c_k$$

 

즉 다음 수열의 값이 정답이므로 계산을 해줍니다.

 

 

$$\sum_{k=1}^{5}c_k=5c_3=5\times (8+16)=120$$

 

정답은 다음과 같이 120이 되겠네요!